Cet article fournit une solution définitive au problème de la description des classes de conjugaison dans les groupes de Coxeter arbitraires en termes de permutations cycliques.
Soit $ (W,S)$ un système de Coxeter. Une permutation cyclique d’un élément $ w\in W$ est un conjugué de $ w$ de la forme $ sws$ pour une réflexion simple $ s\in S$ telle que $ \ell_S(sws)\leq\ell_S(w)$. La classe de permutation cyclique de $ w$ est alors l’ensemble des éléments de $ W$ qui peuvent être obtenus à partir de $ w$ par une suite de permutations cycliques. Etant donné un sous-ensemble $ K\subseteq S$ tel que $ W_K:=\langle K\rangle\subseteq W$ est fini, on appelle aussi deux éléments $ w,w'\in W$ $ K$-conjugués si $ w,w'$ normalisent $ W_K$ et $ w'=w_0(K)ww_0(K)$, où $ w_0(K)$ est l’élement le plus long de $ W_K$.
Soit $ \mathcal O$ une classe de conjugaison dans $ W$, et soit $ \mathcal O^{\min}$ l’ensemble des éléments de longueur minimale dans $ \mathcal O$. Alors $ \mathcal O^{\min}$ est la réunion disjointe d’un nombre fini de classes de permutation cyclique $ C_1,\ldots,C_k$. On définit le graphe de conjugaison structurel associé à $ \mathcal O$ comme étant le graphe de sommets $ C_1,\ldots,C_k$, et avec une arête entre les sommets distincts $ C_i,C_j$ s’ils contiennent des représentants $ u\in C_i$ et $ v\in C_j$ tels que $ u,v$ sont $ K$-conjugués pour un certain $ K\subseteq S$.
Dans cet article, nous calculons explicitement le graphe de conjugaison structurel associé à toute classe de conjugaison (éventuellement tordue) dans $ W$, et montrons en particulier qu’il est connexe (autrement dit, deux éléments conjugués de $ W$ ne diffèrent que par une suite de permutations cycliques et de $ K$-conjugaisons). Chemin faisant, nous obtenons plusieurs résultats d’intérêt indépendant, comme une description du centralisateur d’un élément d’ordre infini $ w\in W$, ainsi que l’existence de décompositions naturelles de $ w$ comme produit d’une «partie de torsion» et d’une «partie rectiligne», avec des propriétés utiles.
This paper gives a definitive solution to the problem of describing conjugacy classes in arbitrary Coxeter groups in terms of cyclic shifts.
Let $(W,S)$ be a Coxeter system. A cyclic shift of an element $ w\in W$ is a conjugate of $ w$ of the form $ sws$ for some simple reflection $ s\in S$ such that $ \ell_S(sws)\leq\ell_S(w)$. The cyclic shift class of $ w$ is then the set of elements of $ W$ that can be obtained from $ w$ by a sequence of cyclic shifts. Given a subset $ K\subseteq S$ such that $ W_K:=\langle K\rangle\subseteq W$ is finite, we also call two elements $ w,w'\in W$ $ K$-conjugate if $ w,w'$ normalize $ W_K$ and $ w'=w_0(K)ww_0(K)$, where $ w_0(K)$ is the longest element of $ W_K$.
Let $\mathcal O$ be a conjugacy class in $ W$, and let $ \mathcal O^{\min}$ be the set of elements of minimal length in $ \mathcal O$. Then $ \mathcal O^{\min}$ is the disjoint union of finitely many cyclic shift classes $ C_1,\ldots,C_k$. We define the structural conjugation graph associated to $ \mathcal O$ to be the graph with vertices $ C_1,\ldots,C_k$, and with an edge between distinct vertices $ C_i,C_j$ if they contain representatives $ u\in C_i$ and $ v\in C_j$ such that $ u,v$ are $ K$-conjugate for some $ K\subseteq S$.
In this paper, we compute explicitely the structural conjugation graph associated to any (possibly twisted) conjugacy class in $ W$, and show in particular that it is connected (that is, any two conjugate elements of $ W$ differ only by a sequence of cyclic shifts and $ K$-conjugations). Along the way, we obtain several results of independent interest, such as a description of the centralizer of an infinite order element $ w\in W$, as well as the existence of natural decompositions of $ w$ as a product of a “torsion part” and of a “straight part,” with useful properties.
Groupes de Coxeter, Classes de conjugaison, Permutations cycliques
Coxeter groups, Conjugacy classes, Cyclic shifts
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