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ReferencesIn betreff dieses letzten Punktes der Argrumentation sei auf § 2, S. 353–354 hingewiesen, wo für einen ganz entsprechenden Fall die Überlegung ansführlicher an gegeben wird.
Leopold Löwenheim, “Über Möglichkeiten im Relativkalkul”, Math. Annalen76. Leipzig 1915.
Th. Skolem, “Logisch-kombinatorische Untersuchungen über die Erfüllbarkeit oder Beweisbarkeit mathematischer Sätze nebst einem Theorem über dichte Mengeu”. Videnskapsselskapets Skrifter. I. Mat. Naturv. Kl., 1920, Nr. 4. Kristiania.
Dieser Satz wird im folgenden genauer formuliert.
Heinrich Behmann, “Beiträge zur Algebra der Logik. insbesondere zum Entscheidungsproblem”. Math. Annalen86, Heft 3/4 (1922); S. 163–229.
Der Fall eines unendlichen, durch eine endliche Zahl nach unten abgegrenzten Anzahlintervalles kommt hiernach auch in Betracht.
Über sein Ergebnis hat Herr Schönfinkel in der Göttinger mathematischen Gesellschaft im Wintersemester 1922/23 referiert.
Hierin sollen die Fällen mit inbegriffen sein, wo die Formel nur aus einer einzigen Disjunktion besteht, aber auch, wo ein Konjunktionsglied nur aus einer Variablen bzw. einer negierten Variablen besteht. D. h. es sind “eingliedrige” Konjunktionen und Disjunktionen zugelassen.
Ganz entsprechendes gilt für die disjunktive Normalform.
Man könnte denken, daß hierzu der in der Einleitung erwähnte Satz von Löwenheim anzuwenden wäre, wonach jedes Problem der Allgemeingültigkeit (bzw. der Erfüllbarkeit) sich auf ein solches zurückführen läßt, bei dem nur Relationen mitzwei Argumenten auftreten. Diese Reduktion können wir jedoch hier nicht verwerten, weil durch sie die Zahl der in der logischen Formel voranstehenden Zeichen vermehrt wird, — während für unsern Zweck ein Verfahren erfordert wird, das den Typns der Formel ungeändert läßt.
Die BedingungB r hängt offenbar nicht von der Wahl der Individuenb 1 , ...,b r ab.
Im Falle, daß\(\mathfrak{A}\) (x, y) bereits als Aussagenverknüpfung allgemeingültig ist, wird die Normalform\(\Re \) (x, y) 0-gliedrig, und die BedingungB r ist dann in trivialer Weise erfüllt.
Diese ist keine ausgezeichnete Normalform.
Göttingen
Paul Bernays
Moskau
Moses Schönfinkel
Bernays, P., Schönfinkel, M. Zum Entscheidungsproblem der mathematischen Logik. Math. Ann. 99, 342–372 (1928). https://doi.org/10.1007/BF01459101
Received: 24 March 1927
Issue Date: December 1928
DOI: https://doi.org/10.1007/BF01459101
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