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Swift-Hohenberg-Gleichung – Wikipedia

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Die Swift-Hohenberg-Gleichung (nach den beiden US-amerikanischen Physikern Jack B. Swift und Pierre C. Hohenberg) ist eine mathematische Modellgleichung zur Untersuchung von Musterbildungsprozessen.^[1] Eine mathematisch vereinfachte Form dieser Gleichung beschreibt das Muster der Faltenbildung von Papillarleisten (Dermatoglyphen) an Fingern, also das Muster von Fingerabdrücken, sowie das Muster der Bildung von Rillen auf eintrocknenden Rosinen.^[2][3]

Es handelt sich um eine partielle Differentialgleichung auf einer reellen oder komplexen skalaren Funktion ψ {\displaystyle \psi } mit zwei räumlichen und einem zeitlichen Argument:

∂ t ψ ( x , y , t ) = [ ϵ − ( Δ + k crit 2 ) 2 ] ⋅ ψ − R ( ψ ) {\displaystyle \partial _{t}\psi (x,y,t)=\left[\epsilon -(\Delta +k_{\text{crit}}^{2})^{2}\right]\cdot \psi -R(\psi )} .

Dabei sind

Von Interesse ist vor allem das Aussehen von ψ ( x , y ) {\displaystyle \psi (x,y)} nach einer hinreichend langen Zeit t {\displaystyle t} , d. h. die stabilen Lösungen der Gleichung, sofern solche jemals erreicht werden.

Für ϵ < 0 {\displaystyle \epsilon <0} ergibt sich ψ ≡ 0 {\displaystyle \psi \equiv 0} als stabile Lösung der Gleichung.

Das Verhalten um den kritischen Punkt ϵ = 0 {\displaystyle \epsilon =0} wird nach einer Fouriertransformation des Linearanteils der Gleichung offensichtlich:

∂ t ψ ~ ( k , t ) = [ ϵ − ( k crit 2 − k 2 ) 2 ] ⋅ ψ ~ {\displaystyle \partial _{t}{\tilde {\psi }}(k,t)=[\epsilon -(k_{\text{crit}}^{2}-k^{2})^{2}]\cdot {\tilde {\psi }}}

Das überkritische Verhalten für ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0} wird durch die Ausformung von R ( ψ ) {\displaystyle R(\psi )} bestimmt. Ähnlich wie beim Bénard-Experiment sind die Lösungen typischerweise Rollen oder hexagonale Muster.

• M. C. Cross and P. C. Hohenberg, Rev. Mod. Phys. 65, 851 (1993).
• J. Swift (Department of Physics, University of Texas, Austin), P. C. Hohenberg (Bell Laboratories, Murray Hill; Physik Department, Technische Universität München): Hydrodynamic fluctuations at the convective instability. Phys. Rev. A 15, 319–328 (1977)

1. ↑ J. Swift, P. Hohenberg: Hydrodynamic fluctuations at the convective instability. In: Physical Review A. 15, 1977, S. 319, doi:10.1103/PhysRevA.15.319.
2. ↑ Holger Dambeck: Mathematiker erklären Muster von Fingerabdrücken. Spiegel Online, 4. Februar 2015, abgerufen am 5. Februar 2015. 
3. ↑ Norbert Stoop, Romain Lagrange, Denis Terwagne, Pedro M. Reis, Jörn Dunkel: Curvature-induced symmetry breaking determines elastic surface patterns. In: Nature Materials. 14, 2015, S. 337, doi:10.1038/NMAT4202.

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