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MathMLにおける単位(Units in MathML 日本語訳)

MathML[MathML2]での単位の導入は, 測定されたデータをコード化するのにMathMLを使いたいと願う人々にとって主要な興味のある事柄の一つです. このメモは, どのようにMathMLの式に単位を含むかについて推奨する内容を紹介します. また, プレゼンテーションマークアップとコンテントマークアップ両方の単位の表現について扱います.

The support of units within MathML [MathML2] is of primary interest to those wishing to use MathML to encode measured data. This Note presents a recommendation for how to include units in any MathML expression. It deals with both the presentation and content representations of units.

この文書の主要な参考文献は, IEEE/ASTM SI 10-1997 Standard for the Use of the International System of Units (SI): The Modern Metric System(訳注:"国際(SI)単位の利用の標準仕様書:現代の計測システム"という意味)[ieee-astm]で, 以降は, これを標準仕様書と呼びます. このメモは標準仕様書で定義されていることを説明するもので, 置き換わるものとして利用されるべきではありません.

The primary reference for this document is the IEEE/ASTM SI 10-1997 Standard for the Use of the International System of Units (SI): The Modern Metric System[ieee-astm], hereafter referred to as the standard. This Note only interprets what is defined in the standard and should not be used as a replacement.

このメモの目標は, プレゼンテーションMathMLとコンテントMathMLの両方で, 単位を表現すること, 特定すること, 含むことをコード化するための提案と勧告を提供することです.

The goals of this Note are to provide suggestions and recommendations for encoding the presentation, identification, and inclusion of units in both Presentation and Content MathML.

単位名という用語は, 単位の実際の名前(例えば, メートル, フィート, トル)と定義します. 同時に, 単位記号は, 結び付けられた単位を表すのに用いられる, 通常少ない数の文字(例えば, m, ft, Torr)と定義します. 単位の記号は略語ではなく, 略語は記号として使われるべきではありません. 例えば, ampではなくAを使います. 定義された記号を持たないあまり使われない単位に対しては, 単位記号として, 単位名を用います.

The term unit name refers to the actual name of a unit (for example, meter, feet, torr), while unit symbol refers to usually a smaller number of characters used to represent the associated unit (for example, m, ft, Torr). Unit symbols are not abbreviations, and abbreviations should never be used as symbols. For example, use A and not amp. For archaic units with no defined symbol, use the unit name as the unit symbol.

合成単位は, 単位記号と定数の累乗の積として書かれる単位です.

A compound unit is a unit which is written as a product of powers of unit symbols and constants.

標準仕様書の3.5節は, 単位名と単位記号を書く流儀や慣習に充てられています. 下記は, この節で取り上げられている最も関係のある点を強調し, MathMLでの解釈を提案しています.

Section 3.5 of the standard is devoted to the style and usage of writing unit names and symbols. The following highlights the most relevant points brought up in this section and suggests possible interpretations in MathML.

合成単位を書く場合, 標準仕様書は, 標準的な複数形と空白を用いて完全な英語で書くことを勧めています. 例えば, kilograms per cubic meter(キログラム毎立方メートル)やmeters per second squared(メートル毎秒毎秒)といった具合です. MathMLは, 数式への単位の結合に関係しています. そのため, 単位名の利用はたいてい不適当になります. その代わりに, いつでも単位記号を使うことが推奨されています.

When writing compound unit names, the standard recommends that they be written in full English with standard pluralization and spacing, for example, kilograms per cubic meter and meters per second squared. MathML is concerned with the incorporation of units into mathematical expressions, and so the unit names are often inappropriate. It is recommended instead that the unit symbols are used at all times.

単位記号は, ローマン(直立)体で書き, 複数でも変化せず, 文の終わりを除いてピリオドが続けられることはなく, 接頭語と単位記号の間に空白は入りません. これは, MathMLで, mi要素を使うことで達成されます. 単一の文字の記号は, それがイタリック体である場合でなければ, mathvariant属性をnormalに設定します. 例えば, 次のようです.

Unit symbols are written in roman (upright) type, are not altered in the plural, are not followed by a period except at the end of a sentence, and no space is left between a prefix and a unit symbol. This is accomplished in MathML by using the mi element. Single character symbols must be qualified by setting the mathvariant attribute to normal as otherwise they would be italicized. For example,

<mi mathvariant='normal'>m</mi> 

標準仕様書は, 2つの単位の積であることを明らかにするために, 点を用いることを勧めています. プレゼンテーションMathMLでは, これは, 数学記号<mo>&middot;</mo>利用によって行われてもよいです. 例えば, ニュートンメートルは, 次のように表現されてもよいです.

The standard recommends that a raised dot is used to indicate the product of two units. In Presentation MathML, this may be done through the use of the mathematical operator <mo>&middot;</mo>. For example, the newton meter may be expressed as

<mrow>
  <mi mathvariant='normal' class='MathML-Unit'>N</mi> 
  <mo>&middot;</mo> 
  <mi mathvariant='normal' class='MathML-Unit'>m</mi> 
</mrow> 

2個以上の単位の商は, 次の方法の内の1つで表現されてもよいです.

A quotient of two or more units may be expressed in one of the following ways:

商を表現する場合, あいまいさを無くすために丸かっこを挿入する場合を除いて, 同じ式の中で複数の斜線(/)を使ってはいけません.

In representing a quotient, do not use more than one solidus (/) in the same expression unless parentheses are inserted to avoid ambiguity.

値と単位記号を含む量を表現する場合, 値と記号の間の空白は残すべきです. MathMLにおいて, それは, 数学演算子<mo rspace="thickmathspace">&InvisibleTimes;</mo>を用いることで達成できます. ⁢に対する既定の空白(多くの場合0)が受け入れられない場合, MathMLではrspace属性を使って追加の空白を加えます. 例えば, 35 mmは次のように表現されてもよいです.

In expressing a quantity containing a value and a unit symbol, a space shall be left between them. In MathML this is achieved by using the mathematical operator <mo rspace="thickmathspace">&InvisibleTimes;</mo>. If the default spacing used for ⁢ is not acceptable (it is often zero), extra space is added in MathML with the rspace attribute. For example, 35 mm may be expressed as

<mrow>
  <mn>35</mn> <mo rspace='thickmathspace'>&InvisibleTimes;</mo>
  <mi mathvariant='normal' class='MathML-Unit'>mm</mi>
</mrow> 

値と合成単位を含む量を表現する場合, 単位は, 値とは別個にすべきです. 例えば, 10 kg·m/sを表現する場合, 次のようになるでしょう.

In expressing a quantity containing a value and a compound unit, the unit should remain distinct from the value. For example, in expressing 10 kg·m/s, one would use:

<mrow>
  <mn>10</mn> <mo rspace='thickmathspace'>&InvisibleTimes;</mo>
  <mfrac>
    <mrow>
      <mi mathvariant='normal' class='MathML-Unit'>kg</mi> <mo>&middot;</mo> <mi
      mathvariant='normal' class='MathML-Unit'>m</mi>
    </mrow> <mi mathvariant='normal' class='MathML-Unit'>s</mi>
  </mfrac>
</mrow>

そして, 次のようにはなりません.

and not

<mfrac>
  <mrow>
    <mn>10</mn> <mo rspace='thickmathspace'>&InvisibleTimes;</mo>
    <mi>kg</mi> <mo>&middot;</mo> <mi mathvariant='normal'>m</mi>
  </mrow> <mi mathvariant='normal'>s</mi>
</mfrac> 

単位記号と合成単位の両方におて, 単位は, 積の一番最後に来るべきです.

For both unit symbols and compound units, the unit should be the last term in the product.

MathMLが, 計算の中間段階の表示に使われるとき, 上で述べた規則全ては適用されなくてもよいです. 例えば, 5秒間に30メートル移動する物体の速度を求める場合, プレゼンテーションMathMLのマークアップは次のようになってもよいです.

As MathML may be used in the display of intermediate steps of a calculation, not all of the above rules may apply. For example, in finding the speed of a body which moved thirty meters in five seconds, the Presentation MathML markup may be:

<mrow>
  <mfrac>
    <mrow>
      <mn>30</mn> 
      <mo rspace='thickmathspace'>&InvisibleTimes;</mo>
      <mi mathvariant='normal' class='MathML-Unit'>m</mi>
    </mrow> 
    <mrow>
      <mn>5</mn> 
      <mo rspace='thickmathspace'>&InvisibleTimes;</mo>
      <mi mathvariant='normal' class='MathML-Unit'>s</mi>
    </mrow>
  </mfrac> 
  <mo>=</mo> 
  <mn>6</mn> 
  <mo rspace='thickmathspace'>&InvisibleTimes;</mo> 
  <mfrac>
    <mi mathvariant='normal' class='MathML-Unit'>m</mi> 
    <mi mathvariant='normal' class='MathML-Unit'>s</mi>
  </mfrac>
</mrow> 

これは, 次のように表示されるでしょう.

which displays as

ある種のSIでない単位は, 一般的な利用を通して, 複数形において異なる記号を持っています. 例えば, ポンドは, 測定された量に依存するlbまたはlbsという記号で表現されてもよいです. 同様に, 3.2ヤードは, たいてい3.2ydsと書かれます.

Certain non-SI units have, through common usage, symbols which differ in the plural. For example, the pound may be represented by the symbol lb or lbs , depending on the amount being measured. Similarly, 3.2 yards is often written 3.2 yds.

キロワット時に対するkWhという記号も, kW·hの代わりに受け入れられます.

The symbol kWh for the kilowatthour instead of kW·h is also acceptable.

量と単位を分ける空白の必要性に対する例外は, 平面の角度の度, 分, 秒に対する記号です. この場合, mo演算子を用いるのが適切でしょう. 例えば, 次のようになります.

Exceptions to the requirement that a space separate the quantity and unit are the symbols for degree, minute, and second of plane angle. In this case, it would be appropriate to use the mo operator. For example,

<mn>32</mn>
<mo>&InvisibleTimes;</mo>
<mi mathvariant='normal' class='MathML-Unit'>°</mi> 
<mn>18</mn>
<mo>&InvisibleTimes;</mo>
<mi mathvariant='normal' class='MathML-Unit'>'</mi>
<mn>54</mn>
<mo>&InvisibleTimes;</mo>
<mi mathvariant='normal' class='MathML-Unit'>"</mi>

プレゼンテーションMathMLと同じ様に, 単位を持った量を表現するには, 単位を, 最初の子要素としてtimes要素を持つapply要素の子要素とすることが推奨されます. 積の終わりで入れ子になったapplyとして, 合成単位が分離されている場合にも, 同じ様にすることが好ましいです.

In expressing a quantity with units, as with Presentation MathML, it is recommended that the unit be the last child of an apply element which has a times element as the first child. It is also preferable if compound units are kept separate as a nested apply at the end of a product.

プレゼンテーション要素のmiには, それが単位を表していることを示すのに使われる属性がありません. コンテントMathMLを個々の単位や合成単位を特定するために使わなければなりません.

The presentation element mi does not take any attributes which may be used to indicate that it represents a unit. Content MathML must be used to identify individual or compound units.

MathML 2.0では, csymbol要素によって外部で定義された記号を取り入れました. 書き手に, 外部で定義された意味を持つ識別子を使うことを認めました.

MathML 2.0 introduced externally defined symbols with the csymbol element. This element allows the author to use identifiers with externally defined semantics.

definitionURL属性は, 記号の意味の外部定義を示すものです. encoding属性は, 定義されたURLによって示される定義の構文を与えるものです. よって, csymbolコンテント要素は, このように単位としての記号を特定するための適切な道具です.

The attribute definitionURL is a pointer to the external definition of the semantics of the symbol. The attribute encoding gives the syntax of the definition pointed to by the definition URL. Thus, the csymbol content element as such is the appropriate tool for identifying a symbol as being a unit.

csymbol 要素は, 合成単位を入れるのに使われるべきではありません. 例えば, 速さの次に示す単位は, 単一のcsymbol要素を用いて構成されるべきではありません. <csymbol>センチメートル毎秒</csymbol>または<csymbol>cm/s</csymbol>とすべきではありません.

The csymbol element should not be used to encapsulate a compound unit. For example, the following unit of speed should not be constructed using a single csymbol element: <csymbol>centimeters per second</csymbol> or <csymbol>cm/s</csymbol>.

そのような合成単位は, 単一の単位のはっきりとした積または商で表現されるべきです.

Such compound units should be represented by explicit products or quotients of simple units.

csymbol要素の内容は, 単位を表そうと望み, 既にMathML 2.0仕様書にある方法の他の何らかの方法に制限されない, 何らかのコード化手法から成ってもよいです.

The content of the csymbol element may consist of any encoding which is desired to represent the unit and is not restricted in any way beyond those already set in the MathML 2.0 specification.

g₀やg_nという記号は, 自由落下の際の加速度の単位を表すのによく使われます. その意味は, すでに属性により定義されており, そのため, この単位の表示を明らかにするのにコンテントマークアップが使われてもよいです. 例えば, 次のようです.

The symbol g₀ or g_n is often used to represent the unit of acceleration due to freefall. The semantics are already defined by the attributes, and thus the content may be used to indicate the display of this unit. For example,

<csymbol definitionURL='http://.../units/gravity'><msub><mi>g</mi><mi>n</mi></msub></csymbol>

encoding属性は省略可能で, 実際の定義を処理するのを助けるのに使われます. encoding属性は, 実際にコンピュータで定義を解釈することが目的の場合に必要となります.

The encoding attribute is optional and is used to help parse the actual defintion. It is only needed if the intention is to actually interpret the definitions by machine.

definitionURL属性は, 唯一無二の単位を特定するために使われてもよいです. 次に示すのは, 唯一無二の定義URLの勧めです.

The definitionURL attribute may be used to uniquely identify a unit. The following is a recommendation for a unique definition URL.

定義URLは, 2つから5つの部分からなります.

The definition URL is made up of two to five parts:

http://base/units/unit name[/context][/country][#prefix]

context(文脈), country(国), prefix(接頭語)は省略可能です. これらの使い方は, 次で述べます.

where the context, country, and prefix are optional. The use of these parts is described below:

この部分には, 定義URLの基となる部分を表す, 固定でないURLが選ばれます. そのため, このメモの残りの部分では, 基となる部分は省略記号...で示されます. 例えば, 次のようにです.

To this point, no fixed URL has been chosen to represent the base of these definition URLs, so for the remainder of this Note, the base will be indicated by ellipsis: .... For example,

<csymbol definitionURL='http://.../units/meter'>m</csymbol>

unit nameは, 接頭語を除いた完全な形で綴られます. 各単位に対し無数の綴り方が可能ですが, SIの範囲でさえ, アメリカ英語の綴り方で, 標準的な小文字のASCII文字に置き換えた形を, 可能な限り使うことが推奨されます. 例えば, ドイツ語のFußとÅngströmは, それぞれhttp://.../units/foot/deとhttp://.../units/angstromという定義URLを使うべきです.

The unit name is spelled in full without any prefix. With the myriad of spellings available for each unit name, even within SI, it is recommended that the American English spelling with standard translations to lower case ASCII characters be used wherever possible. For example, the German Fuß and the Ångström should use the definition URLs http://.../units/foot/de and http://.../units/angstrom, respectively.

(標準的でない)単位記号が合成単位の名前の略語となっている場合, 単位記号はunit nameのところで使われるべきです. 例えば, gallons per minute(ガロン毎分)やrevolutions per minute(回転毎分)は, それぞれhttp://.../units/gpmやhttp://.../units/rpmという定義URLを使うべきです.

In cases where the (nonstandard) unit symbol is an abbreviation of a compound unit name, the unit symbol should be used in place of the unit name. For example, gallons per minute and revolutions per minute should use the definition URLs should use the definition URLs http://.../units/gpm and http://.../units/rpm , respectively.

単位名が他の単位名と矛盾し, 単位名が単位記号より簡単にASCIIに変換できるとき, 単位名が, 単位記号より優先して選ばれます. 例えば, オームに対する記号はΩ(&Omega)です.

The unit name was chosen over the unit symbol for the definition URL as the name is less likely to conflict with other unit names, and unit names tend to be more easily converted to ASCII. For example, the symbol for the ohm is Ω (Ω).

contextは, 単位名が, 一般的な利用や, 国際的同意や, 科学的同意のいずれかを通して, 単位が厳密に適格だとするのに不十分なときにのみ用いられます. SIを基本としない単位, 特別な名前や記号を持つ単位, 人間の健康を守るという理由で認められた特別な名前を持つ単位は, 通常の状態で理解されるようにcontextを必要とします. SIでの一時的な利用における単位の利用について, contextを必要とする唯一の場合は, 角度(angle)の分と秒で, それぞれhttp://.../units/minute/angularとhttp://.../units/second/angularとなります.

The context is used only where the name is insufficient to properly qualify the unit either through common usage or an international or scientific agreement. No SI base units, derived units with special names and symbols, or derived units with special names admitted for reasons of safeguarding human health requires a context as they are understood to be the default. Of the units in use with and in temporary use with SI, the only which require a context are the angular minute and second, http://.../units/minute/angular and http://.../units/second/angular, respectively.

contextが必要となる例としては, 合衆国の測量のマイルがあります. 通常の国際的なマイルはhttp://.../units/mileという定義URLを持つ一方, 合衆国の測量のマイルはhttp://.../units/mile/survey/usという定義URLを使うでしょう. この場合, 標準的な合衆国のマイルは国際的なマイルに等しいこともあり, contextは必要です.

An example of where a context is necessary is the U.S. survey mile. The default international mile has the definition URL http://.../units/mile whereas the U.S. survey mile would use the definition URL http://.../units/mile/survey/us. In this case, the context is necessary as the standard U.S. mile is equal to the international mile.

何年かの間に, いろいろなSI単位の定義も修正されてきています. たいていの場合, 定義はより正確になってきており, そのため, 以前の定義の正確さ次第で, 一つ前の単位系もまだ有効です. このような例外の一つとして, リットルの定義があります. 1901å¹´, リットルは, 最大の密度の, 通常の大気圧での, 純水1キログラムを占める体積の単位として定義されていました. リットルの定義は, 1964å¹´, 立方デシメートル(1000立方センチメートル)の特別な名前に変えられました. これら2つの定義は, およそ2ppm異なり, よってこれら2つの単位を区別する必要があります. 元々のリットルのcontextは定義がつくられた年とできることから, 定義URLはhttp://.../units/liter/1901となります.

Over the years, the definitions of the various SI units have been modified. In most cases, the definitions have been made more exact, so previous measurements are still valid up to the precision of the former definition. The one exception to this is the definition of the liter. In 1901, the liter was defined as the unit of volume occupied by a mass of one kilogram of pure water at its maximum density and at standard atmospheric pressure. The definition of the liter was changed in 1964 to be a special name for the cubic decimeter. These two definitions differ by approximately 28 parts per million, and thus it is necessary to differentiate between these two units. The context of the original liter could be the year the definition was made, so the definition URL would be http://.../units/liter/1901.

定義が変わった他の例で, 日付が論点となっている定義がつくられた年を参照している場合, その日付が用いられてもよいです.

A date may be used in other cases where a definition has changed, where the date refers to the year the definition in question was made.

場合によっては, 単位は, 次元によって区別される複数の定義を持ってもよいです. この場合, 次元は, contextとして使われます. 例えば, langleyは, (表面エネルギー密度), または(表面電力密度)のいずれかとして定義されてもよいです. これら2つの単位に対する定義URLは, それぞれhttp://.../units/langley/surface_energy_densityとhttp://.../units/langley/surface_power_densityとなってもよいです.

In some cases, a unit may have multiple definitions which may be differentiated by the dimension. In this case, the dimension could be used as the context. For example, the langley may either be defined as (surface energy density) or (surface power density). The definition URLs for these two units may be http://.../units/langley/surface_energy_density and http://.../units/langley/surface_power_density, respectively.

通常, countryは, ISO3166の国コードを参照します. 歴史的な単位の場合, 可能であれば, その国の現在の後継国が使われるべきです. これができないのなら, ISO3166-2地域コードが, 利用可能な場合に使われてもよいです.

By default, the country is referred to by the ISO 3166 country codes. In the case of historical units, where possible, the modern successor of that country should be used. Where this is not possible, ISO 3166-2 Regional codes may be used, again, if possible.

例えば, スコットランドのマイルの定義URLは, http://.../units/mile/gb-sctでしょう.

For example, the definition URL of the Scottish mile would be http://.../units/mile/gb-sct.

このことは, 昔の単位を参照するときに成り立たなくなります. 古代ローマのマイルをイタリアのマイルとして参照することは無意味です. このような場合, 文明の形容詞の形を使います. 例をいくつか次に挙げます.

This breaks down when referring to ancient units. It would be nonsensical to refer to the Roman mile as an Italian mile. In these cases, the adjective form of the civilization is used. Some examples are given below:

• arabic(訳注:アラビア)

• athenian(訳注:古代アテネ)

• egyptian(訳注:古代エジプト)

• greek(訳注:古代ギリシア)

• hebrew(訳注:古代イスラエル)

• ionian(訳注:イオニア)

• persian(訳注:古代ペルシア)

• prussian(訳注:プロイセン)

• rabbinical(訳注:ラビ)

• roman(訳注:古代ローマ)

• talmudic(訳注:タルムード)

SIは, 単位を10の倍数倍や1/10の倍数倍に適応させるのに, 記号の前に接頭語を置くことで表現しています.IECは, 単位の2の倍数倍を表現する接頭語を導入しています. 接頭語を持つ単位は, フラグメント識別子#を使って, 定義URLに接頭語を加えることで表現します. μ(マイクロ)という接頭語には, 推奨される同等のASCII文字であるuを使います.

SI accomodates decimal multiples and submultiples of units to be represented by placing prefixes in front of the symbols. The IEC introduced prefixes to represent binary multiples of units. A unit with a prefix is represented by appending the prefix to the definition URL using the fragment identifier #. For the prefix μ (micro) use the recommended ASCII equivalent, u.

例えば, 次のようです.

Examples:

接頭語の完全な一覧は, B.2 IEC接頭語にあります. 定義URLの他の部分と異なり, 接頭語は, 必要に応じて大文字にすべきです.

A full list of prefixes are given in B.2 IEC Prefixes. Unlike other parts of the definition URL, the prefixes should be capitalized where necessary.

単位は, 測定の標準です. 変換するためには, 例えば, 1.35ダインが1ニュートンであるという, 次の2つの情報が必要です.

A unit is a standard of measurement. In order to convert, for example, 1.35 dynes to newtons, two pieces of information are necessary:

1. 単位の次元

   The dimension of the unit, and

2. 次のいずれか

   Either:

   1. 結び付けられた単位系

      The associated system of units, or

   2. 既知の単位系への変換

      The conversion to a known system of units.

このとき, 数量は, 同じ次元の別の単位に変換できます.

At this point, the measurement can be converted to any other unit of equal dimension.

15.3キロメートル毎時を, フィート毎秒に変換したいと仮定します. 両方とも速さの量で, 2番目のものは, フィート-ポンド-秒単位系で速さの単位です. km/hのSIヘの変換がおよそ0.277778 m/sと知っていて, m/sの変換が, mからftへの変換÷sからsへの変換, つまり, 3.28084だと知っているとします. すると, 変換は, 15.3×0.277778×3.28084 ft/s = 13.9436 ft/sとなります.

Suppose we wish to convert 15.3 kilometers per hour to feet per second. Both are measurements of speed, the second being the unit of speed in the foot-pound-second system of units. If we know that the conversion of km/h to SI is approximately 0.277778 m/s, then the conversion from m/s is the conversion of m to ft over the conversion of s to s, that is, 3.28084. Thus, the conversion is 15.3×0.277778×3.28084 ft/s = 13.9436 ft/s.

3.532カロリー時間をエルグ秒に変換したいと仮定します. この問題は, 最初の単位をSIと呼ばれる共通の単位系に変換し, 対応するSI単位をcgs単位系に変換することになります.

Suppose we want to convert 3.532 calorie hours to erg seconds. This problem may be reduced to converting the first unit to a common system of units, say SI, and then converting the corresponding SI unit to cgs system of units.

cal·hとerg·sが, 作用(大きさ)の単位として与えられているとき, 1 cal·sのSIへの変換が15062.4 kg·m²/sです. SIからcgsヘの変換は, 10⁷を掛けます. よって, 3.532 cal·h = 3.532×15062.4×10⁷erg·s = 5.32e11 erg sです.

Given that cal·h and erg·s are units of action (the dimension), if we know that the conversion of 1 cal·s to SI is 15062.4 kg·m²/s. The conversion from SI to cgs is a multiplication by 10⁷. Thus 3.532 cal·h = 3.532×15062.4×10⁷erg·s = 5.32e11 erg·s.

また, 83.7スタットボルト毎センチメートルをボルト毎メートルに変換することを考えます. この問題は, 静電気学の単位系(emu)をSIに変換することへ単純化してもよいです.

Again, consider converting 83.7 statvolts per centimeter to volts per meter. This problem may be reduced to converting a unit in the electrostatic system of units (emu) to SI.

sV/cmが電界の強さの単位として与えられているとき, SIへの変換を求めるのに, 質量, 時間距離, 電流の対応する単位への変換の積を用いてもよいです. この積は, 10^-3×10^-2/(1³Ã—2997924580^-1) = 29979.2458, よって87.3 statV/cmのSIへの変換は29979.2458 V/mです.

Given that sV/cm is a unit of electric field strength, we may take the product of the conversions of corresponding units of mass, length time, and electric current to get the conversion to SI. This product is 10^-3×10^-2/(1³Ã—2997924580^-1) = 29979.2458, and therefore the conversion to SI of 87.3 statV/cm is 29979.2458 V/m.

適切にMathMLを実装することで, このような情報の全てを決めることは, 装飾されていないMathMLを伝えることではとても難しいでしょうが, いつでも可能です. cm/sのように簡単な単位でさえ, 3つの方法で表されてもよいです.

It is always possible to determine all of this information by interpreting the MathML appropriately, although by transmitting plain MathML the task may be quite difficult. Even a unit as simple as cm/s may be stored in any of three ways:

<apply>
  <divide/> 
  <csymbol definitionURL='http://.../units/meter#c>cm</csymbol> 
  <csymbol definitionURL='http://.../units/second>s</csymbol>
</apply> 

<apply>
  <times/> 
  <csymbol definitionURL='http://.../units/meter#c>cm</csymbol>
  <apply>
    <power/> 
    <csymbol definitionURL='http://.../units/second>s</csymbol> 
    <cn type='integer'>-1</cn>
  </apply>
</apply>

<csymbol definitionURL='http://.../units/kyne'>kyn</csymbol>

一般に, 数式から単位を抜き取ることはとても困難です. この節では, semantics要素を使うことで, 単位の情報を伝えることを簡単にする方法について述べます.

In general, it is quite difficult to pick a unit from an expression. This section describes a method for facilitating the transmission of unit information by making use of the semantics element.

それぞれのsemantics要素は, 属性のdefinitionURL="http://.../units/"を持つでしょう. 最初の子要素は, コンテントMathMLかプレゼンテーションMathMLのいずれかで, コード化された単位を持つでしょう.

Each semantics element would contain the attribute definitionURL="http://.../units/". The first child element would be the unit encoded in either Content or Presentation MathML.

次の付加情報は, 与えられた単位の解釈と変換を簡単にするのに使われてもよいです.

The remaining annotations may be used to facilitate interpretation and conversion of the given unit.

• 次元

  dimension

• 同等のSI単位

  SI-equivalent-unit

• 単位系

  system

• SI変換係数

  SI-conversion-factor

次元は, 何らかの測られてもよいものを指します. 科学の分野では, 大部分の事象は, 長さ, 質量, 時間, 電流, 熱力学の温度, 物質量, 光の強さ(基となる次元)とそれらの累乗の積(派生した次元)の単位で測られてもよいです. 貨幣も, 経済学のような分野では, 基となる次元として扱われてもよいです.

A dimension is something which may be measured. Within the scientific community, most objects may be measured in units of length, mass, time, electric current, thermodynamic temperature, amount of substance, or luminous intensity (base dimensions) or as products of powers of these (derived dimensions). Currency may also be taken to be a base dimension in some fields such as economics.

単位系は, 基となる次元と派生した次元の集合について, 大きさ(単位)の固有の標準を割り当てられた単位の集合です. 測られたものの次元を知ることは, 単位の変換を助けるための良い方法に既になっています. 国際単位(SI)は, 物理現象を記述するために用いられる, そのような単位系の1つで, そのような測定の標準として選ばれました.

A system of units is a collection of units which assign specific standards of measure (units) to a set of base and derived dimensions. Knowing the dimension of that which is being measured already goes a long way to helping conversions of units. The International System of Units (SI) is one such system of units used to describe physical phenomena and has been chosen to be the standard of such measurement.

単位の次元とその単位のSIへの変換(SI変換係数参照)が分かっているならば, 与えられた情報を他の単位系へ変換することは, SIから目的の単位への変換が分かっている限り, 間違いなくできます.

If the dimension of a unit and the conversion of that unit to SI (see SI conversion factor ) are known, then converting the given information to any other system of units is straight forward so long as the conversion from SI to the target unit is known.

例えば, 4.37ydsは次のようにコード化されてもよいです.

For example, 4.37 yds may be encoded as:

<apply>
  <times/> 
  <cn type='real'>4.37</cn> 
  <semantics definitionURL='http://.../units/'>
    <csymbol definitionURL='http://.../units/yard'>yds</csymbol>
    <annotation definitionURL='http://.../dimension/length'/>
    <annotation-xml encoding='MathML' definitionURL='http://.../SI-conversion-factor'>
      <cn type='real'>0.9144</cn>
    </annotation-xml>
  </semantics>
</apply> 

よって, このデータを読んでcgsへ変換しようとするソフトウェアは, 4.37 yds = 400 cmを求めるのに, 次元の抽出, 変換係数, SIの長さ単位(m)からcgsの長さ単位(cm)への適切な変換の3つだけを必要とします.

Thus, any application reading this data and wishing to convert it to cgs need only extract the dimension, the conversion factor, and look up the appropriate conversion of the unit of length in SI (m) to the unit of length in cgs (cm) to get 4.37 yds = 400 cm.

次元は, 表現で抜け落ちている情報をコード化するのにも使われます. 例えば, トルクの道理にかなったSI単位はJ/radですが, 2番目の単位が角度の単位であると分かっている場合, N m単位が使われるのが通常です. 異なった量を表すのに使われる単位の他の例を次に示します.

The dimension may also be used to encode information which may be lost in the representation. For example, while a reasonable SI unit of torque is the J/rad, it is common to use the unit N m where the second unit is understood to be a radial measure. Some other examples of units which may be used to represent different quantites are:

利用可能な次元の一覧は, C 次元で挙げられています.

A list of possible dimensions is given in C Dimensions.

ここで示す例では. annotation-xml要素は, 同等のSI単位であり, 同等のSI単位をMathMLによるコードで与えます. この付加情報素は, 単位の次元が与えられているときには余分です. その次元から同等の単位への変換が表の内容で与えられている場合も余分です. ただし, 名前の無い次元が使われている場合に, この付加情報が使われてもよいです. 例えば, 単位時間あたりの力の変化の率は, 名前の無い次元です. そのため, 例えば, 30.523 Hp/minのコード化の1つは次のようになってもよいです.

In this case, the annotation-xml element is the SI equivalent unit, and gives a MathML encoding of the equivalent SI unit. This annotation is redundant if the dimension of the unit is given, as the conversion from the dimension to the equivalent unit is a matter of a table look up, though it may be used if an unnamed dimension is being used. For example, the rate of change of power per unit of time is an unnamed dimension, thus, for example, one encoding of 30.523 Hp/min may be:

<apply>
  <times/> 
  <cn type='real'>30.523</cn> 
  <semantics definitionURL='http://.../units/'>
    <apply>
      <divide/> 
      <csymbol definitionURL='http://.../units/horsepower'>Hp</csymbol> 
      <csymbol definitionURL='http://.../units/minute'>min</csymbol>
    </apply>
    <annotation-xml encoding='MathML' definitionURL='http://.../SI-equivalent-unit'>
      <apply>
        <divide/> <csymbol
        definitionURL='http://.../units/watt'>W</csymbol> <csymbol
        definitionURL='http://.../units/second'>s</csymbol>
      </apply>
    </annotation-xml>
    <annotation-xml encoding='MathML' definitionURL='http://.../SI-conversion-factor'>
      <cn type='real'>12.428331193037837</cn>
    </annotation-xml>
  </semantics>
</apply> 

単位系は, いろいろな物理現象を計測するのに使われる, 基となる単位とそれらの累乗の積の集合です.

A system of units is a collection of base units and products of powers of those units used to measure various physical phenomena.

単位系は, その単位系の中の同じ次元を持つ2つの積がいつでも等しいとき, 首尾一貫していると言われます. 例えば, SIは一貫していて, UK単位系やUS単位系は一貫していません. 例えば, 各単位系で, 力の単位でである馬力は, 合成単位lb·ft²/s³ã«ç­‰ã—くありません. 力の単位である重量ポンドも, 合成単位lb·ft/s²ã«ç­‰ã—くありません.

A system of units is said to be self-consistent if any two products of units within that system which have the same dimensions are equal. For example, SI is consistent while UK and US systems systems of units are not. For example, in either system, the unit of power, the Hp, is not equal to the compound unit lb·ft²/s³. Neither is the unit of force, the pound-force, equal to the compound unit lb·ft/s².

一般に単位系付加情報は, 単位系が首尾一貫しているときのみ使われるべきです. 次に示す単位系は首尾一貫しています.

In general, the system annotation should only be used when the system is self-consistent. The following systems are self consistent:

単位系付加情報は, 単位が, 特定の次元に対して与えられた単位系の通常の単位か, それに等しい場合に用いられます.

The system annotation should be used if the unit is either the default unit in the given system for the particular dimension, or is equal to that unit.

例えば, 単位系付加情報は, Jかkg·m²/s²ã«ã¯ä½¿ã†ã§ã—ょうが, kJには使うべきではありません. 3つとも全て, energyという次元付加情報を使えますが, 最初の2つは, SIという単位系付加情報を使うのに対し, 最後のものは, <cn type="integer">1000</cn>という内容のSI変換係数XML付加情報を使います.

For example, the system annotation may be used for either J or kg·m²/s² but should not be used for kJ. All three could use the energy dimension annotation, but the first two would use the SI system annotation whereas the latter would use the SI conversion factor XML annotation with content <cn type="integer">1000</cn>.

国によっては, フィート-ポンド-秒(fps)単位系は, どこにでもある単位なので, この単位系についての説明が必要でしょう. 次元付加情報とSI変換係数付加情報が使われることが推奨されます. fps単位系とSIの間の変換係数は, 次の表で示しています. 正確な変換は太字で書いています.

Due to the ubiquitous nature of the foot-pound-second system of units in some countries some mention of this system of units is necessary. It is recommended that the dimension and SI conversion factor annotations be used. Some conversion factors between the fps system and SI are provided in the following table. Exact conversions are marked in bold.

他のほとんどのfps単位の変換は, 上の変換係数の累乗の積を使って求められてもよいです.

The conversions of most other fps units may be found by taking products of powers of the above conversion factors.

SI変換係数というannotation-xml要素は, その単位と同じ次元の同等のSI単位との間の変換係数をMathMLでコード化します. 前に述べた例の場合, lb ft からJ/radへの変換は, 3389544870828501/2500000000000000 = 1.3558179483314004です.

The SI conversion factor annotation-xml encoding is a MathML encoding of the conversion factor between that unit and the equivalent SI unit of the same dimension. In the previous example, the conversion from lbf·ft to J/rad is 3389544870828501/2500000000000000 = 1.3558179483314004.

semantics要素を用いた単位を使った例を次に示します.

Some examples of using units with the semantics encoding are:

980.665 cm/s

<apply>
    <times/> 
    <cn type='real'>980.665</cn> 
    <semantics definitionURL='.../units'>
      <apply>
        <times/>
        <csymbol definitionURL='.../units/meter#c'>cm</csymbol>
        <csymbol definitionURL='.../units/second'>s</csymbol>
      </apply> 
      <annotation definitionURL='http://.../dimension/speed'/>
      <annotation definitionURL='http://.../system/cgs'/>
      <annotation-xml encoding='MathML' definitionURL='http://.../SI-conversion-factor'>
        <cn type='rational'>1</sep>100</cn>
      </annotation-xml>
    </semantics>
  </apply>

1 atm = 103.325 kPa

<apply>
  <eq/>
  <apply>
    <times/> 
    <cn type='integer'>1</cn> 
    <semantics  definitionURL='http://.../units/'>
      <csymbol definitionURL='http://.../units/atmosphere'>atm</csymbol>
      <annotation definitionURL='http://.../dimension/pressure'/>
      <annotation-xml encoding='MathML' definitionURL='http://.../SI-conversion-factor'>
        <cn type='integer'>101325</cn>
      </annotation-xml>
    </semantics> 
    <cn type='integer'>1</cn>
  </apply> 
  <apply>
    <times/> 
    <cn type='real'>101.325</cn> 
    <semantics definitionURL='http://.../units/'>
      <csymbol definitionURL='http://.../units/pascal#k'>kPa</csymbol>
      <annotation definitionURL='http://.../dimension/pressure'/>
      <annotation-xml encoding='MathML' definitionURL='http://.../SI-conversion-factor'>
        <cn type='integer'>1000</cn>
      </annotation-xml>
    </semantics>
  </apply>
</apply>

ある車の燃費が4.4L/(100km)と良いです.

The fuel efficency of some cars is as good as 4.4 L/(100 km).

<mrow>
  <mn>4.4</mn> 
  <mo>&InvisibleTimes;</mo> 
  <mfrac>
    <mi>L</mi> 
    <mrow>
      <mn>100</mn> 
      <mo>&InvisibleTimes;</mo> 
      <mi mathvariant='normal' class='MathML-Unit'>km</mi>
    </mrow>
  </mfrac>
</mrow> 

<apply>
  <times/> 
  <cn type='real'>4.4</cn> 
  <semantics>
    <apply>
      <divide/> 
      <csymbol definitionURL='http://.../units/liter'>L</csymbol> 
      <apply>
        <times/> 
        <cn type='integer'>100</cn> 
        <csymbol definitionURL='http://.../units/meter#k'>km</csymbol>
      </apply>
    </apply>
  </semantics>
</apply> 

このメモの執筆を手伝って下さったStan Devitt, Robert Miner, Max Froumentin, Laurent Bernardin, Jacques Caretteに感謝します. 特に, Devitt博士は, 単位を分離するためのsemantics要素の利用を提案して頂き, Miner博士はメモの着手を手伝って頂きました. 追加の意見を下さったJeff Gilesにも感謝します.

The first editor would like to thank Stan Devitt, Robert Miner, Max Froumentin, Laurent Bernardin, and Jacques Carette for helping me with this Note. In particular, Dr. Devitt suggested the use of the semantics element for isolating a unit, and Dr. Miner helped initiate the Note. The first editor would also like to thank Jeff Giles for additional comments.

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